Zlatý rez je podiel, ktorý sa odpradávna považuje za najdokonalejší a najharmonickejší. Tvorí základ mnohých starodávnych štruktúr, od sôch až po chrámy, a je v prírode veľmi bežný. Tento podiel je zároveň vyjadrený prekvapivo elegantnými matematickými konštrukciami.
Inštrukcie
Krok 1
Zlatá proporcia je definovaná nasledovne: je to také rozdelenie segmentu na dve časti, že menšia časť označuje väčšiu rovnako, ako väčšia časť označuje celý segment.
Krok 2
Ak sa dĺžka celého segmentu bude brať ako 1 a dĺžka väčšej časti sa bude brať ako x, potom sa hľadaný podiel vyjadrí rovnicou:
(1 - x) / x = x / 1.
Vynásobením oboch strán proporcie x a prenosom výrazov dostaneme kvadratickú rovnicu:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Krok 3
Rovnica má dva skutočné korene, z ktorých nás prirodzene zaujímajú iba tie pozitívne. Rovná sa (√5 - 1) / 2, čo je približne rovné 0,618. Toto číslo vyjadruje zlatý rez. V matematike sa najčastejšie označuje písmenom φ.
Krok 4
Číslo φ má množstvo pozoruhodných matematických vlastností. Napríklad aj z pôvodnej rovnice vidno, že 1 / φ = φ + 1. V skutočnosti 1 / (0, 618) = 1 618.
Krok 5
Ďalším spôsobom výpočtu zlatého rezu je použitie nekonečného zlomku. Počnúc ľubovoľným x môžete postupne zostaviť zlomok:
X
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
atď.
Krok 6
Na uľahčenie výpočtov možno túto frakciu predstaviť ako iteračný postup, pri ktorom je potrebné pri výpočte nasledujúceho kroku pridať jeden k výsledku predchádzajúceho kroku a jeden vydeliť výsledným počtom. Inými slovami:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Tento proces konverguje a jeho hranica je φ + 1.
Krok 7
Ak nahradíme výpočet recipročnej hodnoty extrakciou druhej odmocniny, to znamená, vykonáme iteračnú slučku:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), potom výsledok zostane nezmenený: bez ohľadu na pôvodne zvolené x sa iterácie zbiehajú k hodnote φ + 1.
Krok 8
Geometricky je možné vytvoriť zlatý rez pomocou bežného päťuholníka. Ak do nej nakreslíme dve pretínajúce sa uhlopriečky, potom každá z nich druhú rozdelí striktne v zlatom pomere. Toto pozorovanie podľa legendy patrí Pytagorasovi, ktorého nájdený vzor tak šokoval, že správnu päťcípu hviezdu (pentagram) považoval za posvätný božský symbol.
Krok 9
Dôvody, prečo sa práve zlatý rez javí človeku najharmonickejším, nie sú známe. Experimenty však opakovane potvrdili, že subjekty, ktoré dostali inštrukciu rozdeliť segment na dve nerovné časti, to najkrajšie robia v pomeroch veľmi blízkych zlatému rezu.
